Question

11．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（0，1），且圓x²+y²=a²被直線x-y-$\sqrt{2}$=0截得的弦長為2
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知k≠0，動直線y=k（x-1）與橢圓C的兩個交點分別為A，B，問：在x軸上是否存在定點M，使得$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$為定值？若存在，試求出點M的坐標和定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（0，1），代入解得b=1．由于圓x²+y²=a²被直線x-y-$\sqrt{2}$=0截得的弦長為2，可得2$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}）^{2}}$=2，解得a²．即可得出．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0）．直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系代入$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$=（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂=m²+$\frac{{k}^{2}（1-4m）-2}{1+2{k}^{2}}$，令1-4m=-4，即可得出．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（0，1），∴$0+\frac{1}{^{2}}$=1，解得b=1．
∵圓x²+y²=a²被直線x-y-$\sqrt{2}$=0截得的弦長為2，∴2$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}）^{2}}$=2，解得a²=2．
∴橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
∴x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$．
∴$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$=（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂
=（k²+1）x₁x₂-（m+k²）（x₁+x₂）+m²+k²
=$\frac{（{k}^{2}+1）（2{k}^{2}-2）}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{（m+{k}^{2}）×4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+m²+k²=m²+$\frac{{k}^{2}（1-4m）-2}{1+2{k}^{2}}$，
令1-4m=-4，即m=$\frac{5}{4}$時，$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$=m²-2=-$\frac{7}{16}$為定值．
點M$（\frac{5}{4}，0）$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．