Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點，M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點，過M，F(xiàn)，O三點的圓的圓心為N，點N到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為$\frac{3}{4}$．
（1）求拋物線C的方程；
（2）當(dāng)過點P（4，1）的動直線l與拋物線C相交于兩不同點A，B時，在線段AB上取點Q，滿足|$\overrightarrow{AP}$|•|$\overrightarrow{QB}$|=|$\overrightarrow{AQ}$|•|$\overrightarrow{PB}$|，證明：點Q總在某定直線上．

Answer 1

分析 （1）由題意，過M，F(xiàn)，O三點的圓的圓心為N，點N到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為$\frac{3}{4}$，可得$\frac{p}{2}$+$\frac{p}{4}$=$\frac{3}{4}$，求出p，即可求拋物線C的方程；
（2）設(shè)點Q（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)$\overrightarrow{AP}$=-λ$\overrightarrow{AQ}$，$\overrightarrow{PB}$=λ$\overrightarrow{QB}$（0＜λ＜1），于是x₁=$\frac{4-λx}{1-λ}$，y₁=$\frac{1-λy}{1-λ}$，x₂=$\frac{4+λx}{1+λ}$，y₂=$\frac{1+λy}{1+λ}$，又點A、B在拋物線C上，即x₁²=2y₁，x₂²=2y₂，代入相減能證明點Q總在直線上．

解答 （1）解：由題意，過M，F(xiàn)，O三點的圓的圓心為N，點N到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{p}{2}$+$\frac{p}{4}$=$\frac{3}{4}$，∴p=1，
∴拋物線C的方程為x²=2y；
（2）證明：設(shè)點Q、A、B的坐標(biāo)分別為（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
由題設(shè)|$\overrightarrow{AP}$|•|$\overrightarrow{QB}$|=|$\overrightarrow{AQ}$|•|$\overrightarrow{PB}$|，A，P，B，Q四點共線，可得$\overrightarrow{AP}$=-λ$\overrightarrow{AQ}$，$\overrightarrow{PB}$=λ$\overrightarrow{QB}$（0＜λ＜1），
于是x₁=$\frac{4-λx}{1-λ}$，y₁=$\frac{1-λy}{1-λ}$，x₂=$\frac{4+λx}{1+λ}$，y₂=$\frac{1+λy}{1+λ}$
又點A、B在拋物線C上，即x₁²=2y₁，x₂²=2y₂，
代入相減得4x-y-1=0，
即點Q（x，y）總在定直線4x-y-1=0上．

點評 本題綜合考查拋物線方程與定比分點定理，同時考查構(gòu)造消元處理方程組的能力．