Question

2．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），且離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若P（-1，$\frac{1}{2}$）是橢圓內(nèi)一點(diǎn)，橢圓的內(nèi)接梯形ABCD，（AB∥CD）的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)P，設(shè)直線AB在y軸上的截距為m，記f（m）=S_△PAB，求f（m）的表達(dá)式
（3）求g（m）=[f（m）]²-$\frac{2}{3}$m³+4m-3的最大值．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)將點(diǎn)M（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）代入橢圓方程，利用離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)設(shè)直線AB、CD的方程，并分別與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、A、C、P三點(diǎn)共線、B、D、P三點(diǎn)共線、兩點(diǎn)間距離公式、三角形面積公式計(jì)算即得結(jié)論；
（3）利用基本不等式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），
∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{6}{4^{2}}=1$，
又∵離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即：a²=2b²，
∴a²=4，b²=2，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由已知得AB、CD不垂直于x軸（否則由對(duì)稱性，點(diǎn)P在x軸上），
設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，直線CD的方程為y=kx+n（m≠n），
將y=kx+m代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$得：（1+2k²）x²+4kmx+2（m²-2）=0，
△=4（8k²-2m²+4）＞0，
設(shè)點(diǎn)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），由韋達(dá)定理得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{A}+{x}_{B}=-\frac{4km}{1+2{k}^{2}}}\\{{x}_{A}{•x}_{B}=\frac{2（{m}^{2}-2）}{1+2{k}^{2}}}\end{array}\right.$，

同理設(shè)點(diǎn)C（x_C，y_C），D（x_D，y_D），由韋達(dá)定理得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{C}+{x}_{D}=-\frac{4kn}{1+2{k}^{2}}}\\{{x}_{C}•{x}_{D}=\frac{2（{n}^{2}-2）}{1+2{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
由A、C、P三點(diǎn)共線可知：（-1-x_A）•（$\frac{1}{2}$-y_C）=（-1-x_C）•（$\frac{1}{2}$-y_A），
化簡(jiǎn)得：-x_A+2y_C+2x_Ay_C=-x_C+2y_A+2x_Cy_A，
同理B、D、P三點(diǎn)共線可知：-x_B+2y_D+2x_By_D=-x_D+2y_B+2x_Dy_B，
兩式相加結(jié)合AB、CD的方程y=kx+m，y=kx+n（m≠n）得：
-（x_A+x_B）+2k（x_C+x_D）+2x_By_D+4n+2x_A（kx_C+n）+2x_B（kx_D+n）
=-（x_C+x_D）+2k（x_A+x_B）+2x_By_D+4m+2x_C（kx_A+m）+2x_D（kx_B+m）-（x_A+x_B）+2k（x_C+x_D）+4n+2n（x_A+x_B）
=-（x_C+x_D）+2k（x_A+x_B）+4m+2m（x_C+x_D），
利用n（x_A+x_B）=m（x_C+x_D）得：（1+2k）（x_C+x_D）-（x_A+x_B）+4（n-m）=0，
$\frac{4k（1+2k）（m-n）}{1+2{k}^{2}}$+4（n-m）=0，
由m≠n可知k=1，
由△及直線不過(guò)點(diǎn)P（-1，$\frac{1}{2}$）得：-$\sqrt{6}$＜m＜$\sqrt{6}$且m≠$\frac{3}{2}$，
又點(diǎn)P（-1，$\frac{1}{2}$）到直線x-y+m=0的距離是d=$\frac{|2m-3|}{2\sqrt{2}}$，
故f（m）=S_△PAB=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×$$\frac{\sqrt{48-8{m}^{2}}}{3}$×$\frac{|2m-3|}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{12-2{m}^{2}}}{6}$|2m-3|（-$\sqrt{6}$＜m＜$\sqrt{6}$且m≠$\frac{3}{2}$）；
（3）g（m）=[f（m）]²-$\frac{2}{3}$m³+4m-3
=-$\frac{2}{9}$m⁴+$\frac{5}{6}$m²=$\frac{1}{72}$•4m²（15-4m²）
≤$\frac{1}{72}$[$\frac{4{m}^{2}+（15-4{m}^{2}）}{2}$]²=$\frac{25}{32}$，
當(dāng)且僅當(dāng)4m²=15-4m²即m=±$\frac{\sqrt{15}}{4}$∈（-$\sqrt{6}$，$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{6}$）時(shí)，上式等號(hào)成立，
故g（m）的最大值為$\frac{25}{32}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，涉及基本不等式、韋達(dá)定理、兩點(diǎn)間距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．