Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinθ，1），$\overrightarrow$=（1，cosθ），θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）
（1）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，求θ的值
（2）求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|的最小值
（3）求函數y=f（θ）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的單調增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由向量垂直的坐標表示列式求得tanθ=-1，結合θ的范圍求得θ的值；
（2）求出$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的坐標，代入向量模的公式求得$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{|}^{2}$的最小值，則|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|的最小值可求；
（3）由向量數量積的坐標表示求得y=f（θ），化積后利用復合函數的單調性得答案．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$=（sinθ，1），$\overrightarrow$=（1，cosθ），θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，得sinθ+cosθ=0，即tanθ=-1，
∴θ=$-\frac{π}{4}$；
（2）$\overrightarrow{a}-\overrightarrow=（sinθ-1，1-cosθ）$，
∴$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{|}^{2}=（sinθ-1）^{2}+（1-cosθ）^{2}$
=sin²θ-2sinθ+1+1-2cosθ+cos²θ
=$-2sin（θ+\frac{π}{4}）+3$．
∵θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），∴$θ+\frac{π}{4}∈（-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$，
∴sin（$θ+\frac{π}{4}$）∈（-$\frac{\sqrt{2}}{2}，1$]．
則$（|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{|}^{2}）_{min}=1$，即|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|的最小值為1；
（3）y=f（θ）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$．
∵$θ+\frac{π}{4}∈（-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$，
∴y=f（θ）的單調遞增區(qū)間為（-$\frac{π}{2}，\frac{π}{4}$]．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，考查了三角函數的圖象和性質，是中檔題．