Question

11．已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長與短軸長之比為2：1，且和直線x-y+1=0只有一個公共點，求此橢圓的方程．

Answer 1

分析 由題意設出橢圓方程，與已知直線方程聯(lián)立，利用判別式等于0求解．

解答 解：由題意可設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（b＞0）$，即x²+4y²-4b²=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}-4^{2}=0}\end{array}\right.$，消去y得：5x²+8x+4-4b²=0．
由△=8²-20（4-4b²）=-16+80b²=0，
解得：$^{2}=\frac{1}{5}$．
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{\frac{4}{5}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{5}}=1$．

點評 本題考查橢圓標準方程的求法，考查了直線和圓錐曲線的位置關系，是基礎題．