Question

10．已知3^x=4^y=5^z，證明$\frac{1}{z}$+$\frac{1}{2y}$=$\frac{1}{x•lg3}$．

Answer 1

分析 設(shè)3^x=4^y=5^z=k，k＞0，由對數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)出$\frac{1}{z}$+$\frac{1}{2y}$=log_k10，$\frac{1}{xlg3}$=log_k10，由此能證明$\frac{1}{z}$+$\frac{1}{2y}$=$\frac{1}{x•lg3}$．

解答 解：設(shè)3^x=4^y=5^z=k，k＞0，
則x=log₃k，y=log₄k，z=log₅k，
∴$\frac{1}{z}$+$\frac{1}{2y}$=log_k5+$\frac{1}{2}lo{g}_{k}4$=log_k10，
$\frac{1}{xlg3}$=$\frac{1}{lo{g}_{3}k•lg3}$=$\frac{lg3}{lgk}×\frac{lg10}{lg3}$=log_k10，
∴$\frac{1}{z}$+$\frac{1}{2y}$=$\frac{1}{x•lg3}$．

點評 本題考查代數(shù)式相等的證明，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意對數(shù)性質(zhì)、運算法則、換底公式的合理運用．