Question

13．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠DAB=60°．側(cè)面PAD為正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，則下列說法錯誤的是（　　）

• A． 在棱AD上存在點M，使AD⊥平面PMB
• B． 異面直線AD與PB所成的角為90°
• C． 二面角P-BC-A的大小為45°
• D． BD⊥平面PAC

Answer 1

分析 根據(jù)線面垂直，異面直線所成角的大小以及二面角的求解方法分別進行判斷即可．

解答 解：對于A，取AD的中點M，連PM，BM，則∵側(cè)面PAD為正三角形，
∴PM⊥AD，
又底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，
∴三角形ABD是等邊三角形，
∴AD⊥BM，
∴AD⊥平面PBM，故A正確，
對于B，∵AD⊥平面PBM，
∴AD⊥PB，即異面直線AD與PB所成的角為90°，故B正確，
對于C，∵底面ABCD為菱形，∠DAB=60°平面PAD⊥平面ABCD，
∴BM⊥BC，則∠PBM是二面角P-BC-A的平面角，
設AB=1，則BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，PM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在直角三角形PBM中，tan∠PBM=$\frac{PM}{BM}=1$，
即∠PBM=45°，故二面角P-BC-A的大小為45°，故C正確，
故錯誤的是D，
故選：D．

點評 本題主要考查空間直線和平面位置關(guān)系以及二面角的求解，根據(jù)相應的判斷和證明方法是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．