Question

4．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=$\frac{1}{4}$（a_n-1）（n∈N^×）
（1）求a₁和a₂的值．
（2）求證：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）分別令n=1，2即可求a₁和a₂的值．
（2）根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{1}{4}$（a_n-1）（n∈N^×），
∴當(dāng)n=1時，a₁=$\frac{1}{4}$（a₁-1），解得a₁=-$\frac{1}{3}$，
當(dāng)n=2時，a₁+a₂=$\frac{1}{4}$（a₂-1），解得a₂=$\frac{1}{9}$．
證明：（2）當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{4}$（a_n-1）-$\frac{1}{4}$（a_n-1-1）=$\frac{1}{4}$a_n-$\frac{1}{4}$a_n-1，
即3a_n=-a_n-1，
則$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$-\frac{1}{3}$，
∴數(shù)列{a_n}是公比q=-$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列．

點評 本題主要考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，結(jié)合等比數(shù)列的定義以及a_n=S_n-S_n-1是解決本題的關(guān)鍵．