Question

3．判斷下列命題的真假，其中全是真命題的組合是（　　）
①若$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$均為非零向量，則$\overrightarrow a•\overrightarrow b=|{\overrightarrow a}|•|{\overrightarrow b}|$是$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$的充分不必要條件；
②若$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b-\overrightarrow c$是兩個(gè)非零向量，則$\overrightarrow a•\overrightarrow b=\overrightarrow a•\overrightarrow c$是$\overrightarrow a⊥（\overrightarrow b-\overrightarrow c）$的充要條件；
③在△ABC中，若$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}＞0$，則△ABC是銳角三角形；
④在△ABC中，$\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|\overrightarrow{AB}|cos∠ABC}}+\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|\overrightarrow{AC}|cos∠ACB}}$與$\overrightarrow{BC}$向量垂直．

• A． ①②③
• B． ①③④
• C． ②③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 利用向量的數(shù)量積求出角判斷①的正誤；向量的數(shù)量積是否為0判斷②的正誤；向量的數(shù)量積的符號判斷③的正誤；向量數(shù)量積是否為0判斷④的正誤；

解答 解：①真命題．若$\overrightarrow a•\overrightarrow b=|\overrightarrow a|•|\overrightarrow b|$，則cosθ=1，θ=0，∴$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$；∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b=|{\overrightarrow a}|•|{\overrightarrow b}|$⇒$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$
若$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，$\overrightarrow a•\overrightarrow b=|\overrightarrow a|•|\overrightarrow b|cosθ$，∴θ=0或π；∴$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$不能說$\overrightarrow a•\overrightarrow b=|{\overrightarrow a}|•|{\overrightarrow b}|$，所以$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$均為非零向量，則$\overrightarrow a•\overrightarrow b=|{\overrightarrow a}|•|{\overrightarrow b}|$是$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$的充分不必要條件．
②真命題．$\overrightarrow a•\overrightarrow b=\overrightarrow a•\overrightarrow c?\overrightarrow a•\overrightarrow b-\overrightarrow a•\overrightarrow c=0?\overrightarrow a•（\overrightarrow b-\overrightarrow c）=0?\overrightarrow a⊥（\overrightarrow b-\overrightarrow c）$；
③假命題．$（\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cos∠ABC}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cos∠ACB}）•\overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{BC}|-|\overrightarrow{BC}|=0$$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=|{\overrightarrow{AB}}|•|{\overrightarrow{BC}}|cos（π-B）＞0⇒cosB＜0$，鈍角三角形；
④真命題．$（\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cos∠ABC}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cos∠ACB}）•\overrightarrow{BC}$
=$\frac{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cos∠ABC}+\frac{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cos∠ACB}$
=$|\overrightarrow{BC}|-|\overrightarrow{BC}|=0$，
∴$\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|\overrightarrow{AB}|cos∠ABC}}+\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|\overrightarrow{AC}|cos∠ACB}}$與$\overrightarrow{BC}$向量垂直．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查命題的真假的判斷，數(shù)量積的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．