Question

11．已知動圓C過定點F（$\frac{1}{2}$，0），且始終保持與直線l：x=-$\frac{1}{2}$相切．
（1）求⊙C的圓心的軌跡方程；
（2）設(shè)定點A（a，0），點Q為曲線C上動點，求點A到點Q距離的最小值d（a）

Answer 1

分析 （1）⊙C的圓心C的軌跡是以原點為中心，以點F（$\frac{1}{2}$，0）為焦點，以直線l：x=-$\frac{1}{2}$為準線的拋物線，由此能求出⊙C的圓心的軌跡方程．
（2）設(shè)Q（x，$\sqrt{2x}$），利用兩點間距離公式求出點A到點Q距離|AQ|，利用配方法能求出點A到點Q距離的最小值d（a）．

解答 解：（1）∵動圓C過定點F（$\frac{1}{2}$，0），且始終保持與直線l：x=-$\frac{1}{2}$相切，
∴⊙C的圓心C的軌跡是以原點為中心，以點F（$\frac{1}{2}$，0）為焦點，以直線l：x=-$\frac{1}{2}$為準線的拋物線，
∴$\frac{p}{2}$=$\frac{1}{2}$，解得p=1，
∴⊙C的圓心的軌跡方程為y²=2x．
（2）∵定點A（a，0），點Q為曲線C：y²=2x上動點，
∴設(shè)Q（x，$\sqrt{2x}$），
∴點A到點Q距離|AQ|=$\sqrt{（x-a）^{2}+（\sqrt{2x}-0）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-（2a-2）x+{a}^{2}}$
=$\sqrt{[x-（a-1）]^{2}+{a}^{2}-（a-1）^{2}}$，
∴當x=a-1，即Q（a-1，$\sqrt{2a-2}$）時，
點A到點Q距離的最小值d（a）=$\sqrt{{a}^{2}-（a-1）^{2}}$=$\sqrt{2a-1}$．

點評 本題考查點的軌跡方程的求法，考查兩點間距離的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意拋物線性質(zhì)、兩點間距離公式的合理運用．