Question

20．如圖，半圓O的直徑為1，A為直徑延長線上的一點，OA=1，B為半圓上任意一點，以AB為一邊作等邊三角形ABC，則四邊形OACB面積的最大值為$\frac{5\sqrt{3}}{16}$+$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 本題考查的知識是余弦定理，及正弦型函數(shù)的性質(zhì)，由于∠AOB的大小不確定，故我們可以設(shè)∠AOB=θ，并根據(jù)余弦定理，表示出△ABC的面積及△OAB的面積，進而表示出四邊形OACB的面積，并化簡函數(shù)的解析式為正弦型函數(shù)的形式，再結(jié)合正弦型函數(shù)最值的求法進行求解．

解答 解：四邊形OACB的面積S_OACB=S_△OAB的面積+S_△ABC的面積
設(shè)∠AOB=θ，
則S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（$\frac{1}{4}$+1-2×$\frac{1}{2}×1×$cosθ）=$\frac{\sqrt{3}}{16}$（5-4cosθ），
S_△OAB=$\frac{1}{2}$•OA•OB•sinθ=$\frac{1}{2}$$•1•\frac{1}{2}$•sinθ=$\frac{1}{4}$sinθ，
S_OACB=$\frac{\sqrt{3}}{16}$（5-4cosθ）+$\frac{1}{4}$sinθ=$\frac{5\sqrt{3}}{16}$+$\frac{1}{2}$sin（θ-60°），
∴當(dāng)θ-60°=90°，
即θ=150°時，S_OACB最大，最大面積為$\frac{5\sqrt{3}}{16}$+$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{5\sqrt{3}}{16}$+$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查余弦定理，兩角差的正弦公式的應(yīng)用，得到四邊形OABC的面積為S=S_△AOC+S_△ABC =$\frac{5\sqrt{3}}{16}$+$\frac{1}{2}$sin（θ-60°）是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．