Question

設(shè)函數(shù)f（x）=alnx-bx²（x＞0）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=1處與直線y=-

1

2

相切，求實(shí)數(shù)a、b的值；
（Ⅱ）當(dāng)b=0時，若不等式f（x）≥m+x對所有的a∈[0，

3

2

]，x∈（1，e²]都成立（e為自然對數(shù)的底數(shù)），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），由條件可得f（1）=-

1

2

且f′（1）=0，列出方程，解出a，b即可；
（Ⅱ）當(dāng)b=0時，f（x）=alnx，已知條件轉(zhuǎn)化為即m≤alnx-x對所有的a∈[0，

3

2

]，x∈(1，e2]都成立，
令h（a）=alnx-x，則h（a）為一次函數(shù)，則m≤h（a）_min．由單調(diào)性求得最小值，即可得到m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′(x)=

a

x

-2bx，又函數(shù)f（x）在x=1處與直線y=-

1

2

相切，
∴

f′(1)=a-2b=0 f(1)=-b=- 1 2

，解得

a=1 b= 1 2

．   
（Ⅱ）當(dāng)b=0時，f（x）=alnx，
若不等式f（x）≥m+x對所有的a∈[0，

3

2

]，x∈(1，e2]都成立，
即m≤alnx-x對所有的a∈[0，

3

2

]，x∈(1，e2]都成立，
令h（a）=alnx-x，則h（a）為一次函數(shù)，
∴m≤h（a）_min．
∵x∈（1，e²]，∴l(xiāng)nx＞0，∴h(a)在a∈[0，

3

2

]上單調(diào)遞增，
∴h（a）_min=h（0）=-x，∴m≤-x對所有的x∈（1，e²]都成立．
∵1＜x＜e²，∴-e²≤-x＜-1，
∴m≤(-x)min=-e2．
則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，-e²]．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，考查不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，注意運(yùn)用單調(diào)性，是一道中檔題．