Question

18．已知向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$滿足|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=1，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$，動(dòng)點(diǎn)C滿足$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，給出以下命題：
①若x+y=1，則點(diǎn)C的軌跡是直線；
②若|x|+|y|=1，則點(diǎn)C的軌跡是矩形；
③若xy=1，則點(diǎn)C的軌跡是拋物線；
④若$\frac{x}{y}$=1，則點(diǎn)C的軌跡是直線；
⑤若x²+y²+xy=1，則點(diǎn)C的軌跡是圓．
以上命題正確的是①②⑤（寫出你認(rèn)為正確的所有命題的序號(hào)）．

Answer 1

分析 利用條件，對(duì)四個(gè)命題分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：因?yàn)橄蛄?\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$滿足|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=1，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$，
所以∠AOB=60°．
因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)C滿足$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，
所以①若x+y=1，則C，A，B共線，所以點(diǎn)C的軌跡是直線AB，正確；
②若|x|+|y|=1，由①，可得點(diǎn)C的軌跡是矩形，正確；
③設(shè)C（m，n），A（a，b），B（c，d），則m=ax+cy，n=bx+dy，xy=1，則點(diǎn)C的軌跡不是拋物線，故不正確；
④若$\frac{x}{y}$=1，即x=y，由①x+y=1，點(diǎn)C的軌跡是直線，故不正確；
⑤$\overrightarrow{OC}$²=（x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$）²=x²+y²+xy=1，則點(diǎn)C的軌跡是圓，正確．
故答案為：①②⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．