Question

3．點(diǎn)M在拋物線C：x²=2py（p＞0）上，以M為圓心的圓與x軸相切于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作直線與C相切于點(diǎn)P（異于點(diǎn)O），OP的中點(diǎn)為Q，則（　�。�

• A． 點(diǎn)Q在圓M內(nèi)
• B． 點(diǎn)Q在圓M上
• C． 點(diǎn)Q在圓M外
• D． 以上結(jié)論都有可能

Answer 1

分析 設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)，可得切線方程，進(jìn)而可得N，M的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)P（a，b），則
∵x²=2py，∴y=$\frac{1}{2p}$x²，∴y′=$\frac{x}{p}$，
∴過P的切線的方程為y-b=$\frac{a}{p}$（x-a），即y=$\frac{a}{p}$x-b，
令y=0，可得x=$\frac{pb}{a}$=$\frac{a}{2}$，
代入拋物線C：x²=2py，可得y=$\frac{p^{2}}{2{a}^{2}}$=$\frac{4}$，
∴M（$\frac{a}{2}$，$\frac{4}$）
OP的中點(diǎn)為Q（$\frac{a}{2}$，$\frac{2}$），∴|MQ|=$\frac{4}$，
∴點(diǎn)Q在圓M上，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線與圓的方程的綜合，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．