Question

7．已知函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}，x∈[0，\frac{1}{2}）}\\{{2^{x-1}}，x∈[\frac{1}{2}，2）}\end{array}}\right.$，若存在x₁，x₂，當(dāng)0≤x₁＜x₂＜2時(shí)，f（x₁）=f（x₂），則x₁f（x₂）-f（x₂）的取值范圍為（　�。�

• A． $（0，\frac{{2-3\sqrt{2}}}{4}）$
• B． $[-\frac{9}{16}，\frac{{2-3\sqrt{2}}}{4}）$
• C． $[\frac{{2-3\sqrt{2}}}{4}，-\frac{1}{2}）$
• D． $[-\frac{9}{16}，-\frac{1}{2}）$

Answer 1

分析 先作出函數(shù)圖象然后根據(jù)圖象，根據(jù)f（x₁）=f（x₂），確定x₁的取值范圍然后再根據(jù)x₁f（x₂）-f（x₂），轉(zhuǎn)化為求在x₁的取值范圍即可．

解答 解：作出函數(shù)的圖象：
∵存在x₁，x₂，當(dāng)0≤x₁＜x₂＜2時(shí)，f（x₁）=f（x₂）
∴0≤x₁＜$\frac{1}{2}$，
∵x+$\frac{1}{2}$在[0，$\frac{1}{2}$）上的最小值為$\frac{1}{2}$；
2^x-1在[$\frac{1}{2}$，2）的最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴x₁+$\frac{1}{2}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，x₁≥$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$≤x₁＜$\frac{1}{2}$．
∵f（x₁）=x₁+$\frac{1}{2}$，f（x₁）=f（x₂）
∴x₁f（x₂）-f（x₂）=x₁f（x₁）-f（x₁）2
=${x}_{1}^{2}+\frac{1}{2}{x}_{1}$-（x₁+$\frac{1}{2}$）=x₁²-$\frac{1}{2}$x₁-$\frac{1}{2}$，
設(shè)y=x₁²-$\frac{1}{2}$x₁-$\frac{1}{2}$=（x₁-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{9}{16}$，（$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$≤x₁＜$\frac{1}{2}$），
則對(duì)應(yīng)拋物線的對(duì)稱軸為x=$\frac{1}{4}$，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{4}$時(shí)，y=-$\frac{9}{16}$，
當(dāng)x=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$時(shí)，y=$\frac{2-3\sqrt{2}}{4}$，
即x₁f（x₂）-f（x₂）的取值范圍為[-$\frac{9}{16}$，$\frac{2-3\sqrt{2}}{4}$）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，以及函數(shù)零點(diǎn)和方程之間的關(guān)系，利用二次函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵，綜合性強(qiáng)，難度較大．