Question

10．已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若函數(shù)f（x）=e^x-x+a的圖象始終在x軸的上方，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（　�。�

• A． （-1，+∞）
• B． （-∞，-1）
• C． [-1，+∞）
• D． （-∞，-1]

Answer 1

分析 將問題轉(zhuǎn)化為f（x）=e^x-x+a＞0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最小值，最小值大于0時(shí)a的范圍，即a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=e^x-x+a的圖象始終在x軸的上方，
∴f（x）=e^x-x+a＞0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，
∴f（x）_min＞0，
∵f′（x）=e^x-1，
令f′（x）=0，求得x=0，
當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0，則f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得極小值即最小值為f（0）=1+a，
∴1+a＞0，
∴a＞-1，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-1，+∞），
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對(duì)應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．考查了函數(shù)的恒成立問題，對(duì)于函數(shù)的恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行求解．本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，一般是求出導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根，然后求出跟對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，然后比較大小即可得到函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．屬于中檔題．