Question

8．函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R）$（ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的部分圖象如圖所示，如果${x_1}，{x_2}∈（\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}）$，且f（x₁）=f（x₂），則f（x₁+x₂）=（　�。�

• A． $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $-\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)圖象的對稱性，求得 x₁+x₂=$\frac{5π}{6}$，可得f（x₁+x₂）的值．

解答 解：由函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R）$（ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的部分圖象，
可得$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$，∴ω=2．
再根據(jù)五點法作圖可的2•$\frac{π}{6}$+φ=0，∴φ=-$\frac{π}{3}$，f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
在${x_1}，{x_2}∈（\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}）$上，且f（x₁）=f（x₂），則$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=$\frac{\frac{π}{6}+\frac{2π}{3}}{2}$，
∴x₁+x₂=$\frac{5π}{6}$，f（x₁+x₂）=sin（2•$\frac{5π}{6}$-$\frac{π}{3}$）=sin$\frac{4π}{3}$=-sin$\frac{π}{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故選：A．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎題．