Question

17．已知過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，若橢圓離心率為$\frac{1}{2}$，短軸長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓方程；
（2）求線段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸且焦點(diǎn)在x軸，離心率e=$\frac{1}{2}$，短軸長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$，求出a，b，即可求橢圓的方程；
（2）求出直線方程，代入橢圓方程，求得交點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得弦AB的長(zhǎng)．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，2b=2$\sqrt{3}$，即b=$\sqrt{3}$
又a²-c²=b²=3，
解得a=2，c=1，
即有橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）由右焦點(diǎn)（1，0），可得直線方程為y=x-1，
聯(lián)立橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，y=x-1得：7x²-8x-8=0，
所以${x_1}+{x_2}=\frac{8}{7}，{x_1}{x_2}=-\frac{8}{7}$，
即有AB=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{\frac{64}{49}-（-\frac{32}{7}）}$=$\frac{24}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓相交時(shí)的弦長(zhǎng)，解題的關(guān)鍵是確定交點(diǎn)的坐標(biāo)，屬于中檔題．