Question

將函數(shù)f（x）=sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移

π

4

個(gè)單位，所得函數(shù)為g（x）．
（1）求函數(shù)g（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)g（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

4

]上的最小值和最大值，并求出取最值時(shí)x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先根據(jù)函數(shù)的圖象變換求出g（x）的解析式，進(jìn)一步求出函數(shù)的最小正周期和單調(diào)區(qū)間．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用函數(shù)的定義域確定函數(shù)的值域

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移

π

4

個(gè)單位，
則：g（x）=sin(

1

2

x+

π

8

)
所以：T=

2π

1 2

=4π
令：-

π

2

+2kπ≤

1

2

x+

π

8

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）
解得：-

5π

4

+4kπ≤x≤

3π

4

+4kπ
函數(shù)的遞增區(qū)間為：x∈[-

5π

4

+4kπ，

3π

4

+4kπ]（k∈Z）
（2）由于：

π

8

≤x≤

3π

4

所以：

3π

16

≤

1

2

x+

π

8

≤

π

2

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性：當(dāng)x=

π

4

時(shí)，函數(shù)取最大值f（x）_max=1
當(dāng)x=

π

8

時(shí)，函數(shù)取最小值f(x)min=sin

3π

16

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦型函數(shù)的圖象變換問題，正弦型函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間的應(yīng)用，正弦型函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題型．