Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知bcosC+

3

bsinC=a+c．
（1）求∠B的大小；
（2）若b=

3

，求a+c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（1）運(yùn)用正弦定理，將邊化為角，再由兩角和差的正弦公式，化簡整理即可得到角B；
（2）運(yùn)用兩角和的正弦公式，結(jié)合C的范圍，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到范圍．

解答： 解：（1）由正弦定理，可得，
bcosC+

3

bsinC=a+c即為
sinBcosC+

3

sinBsinC=sinA+sinC
=sin（B+C）+sinC
=sinBcosC+cosBsinC+sinC，
即有

3

sinB-cosB=1，
即2（

3

2

sinB-

1

2

cosB）=1，
即有sin（B-

π

6

）=

1

2

，
由于0＜B＜π，則有B-

π

6

=

π

6

，
則B=

π

3

；
（2）A+C=π-B=

2π

3

，
則0＜C＜

2π

3

，
則a+c=bcosC+

3

bsinC=

3

cosC+3sinC
=2

3

（

1

2

cosC+

3

2

sinC）
=2

3

sin（C+

π

6

），
由于

π

6

＜C+

π

6

＜

5π

6

，則

1

2

＜sin（C+

π

6

）≤1，
則a+c的取值范圍是（

3

，2

3

]．

點(diǎn)評：本題考查正弦定理的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的化簡和求值，考查兩角和差的正弦公式，正弦函數(shù)的圖形和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．