Question

15．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，AB=PA=BC=2．D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，過DE的平面與PB，PC相交于點(diǎn)M，N（M與P，B不重合，N與P，C不重合）．
（Ⅰ）求證：MN∥BC；
（Ⅱ）求直線AC與平面PBC所成角的大小；
（Ⅲ）若直線EM與直線AP所成角的余弦值$\frac{{3\sqrt{14}}}{14}$時，求MC的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）DE為△ABC的中位線，從而得到DE∥BC，然后根據(jù)線面平行的判定定理及性質(zhì)定理即可得到DE∥MN，從而BC∥MN，即MN∥BC；
（Ⅱ）過B作BZ∥PA，容易說明BC，BA，BZ三條直線互相垂直，從而以B為原點(diǎn)，BC，BA，BZ所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，這樣即可求得$\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{BP}，\overrightarrow{AC}$的坐標(biāo)．從而可求出平面PBC的一個法向量坐標(biāo)$\overrightarrow{n}$，設(shè)直線AC與平面PBC所成角為α，根據(jù)sinα=$|cos＜\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{n}＞|$即可求出α；
（Ⅲ）根據(jù)圖形設(shè)M（0，y，z），由M點(diǎn)在棱BP上，便可得到$\overrightarrow{BM}=λ\overrightarrow{BP}$，從而表示M為M（0，2λ，2λ），根據(jù)直線EM與直線AP所成角的余弦值$\frac{{3\sqrt{14}}}{14}$，設(shè)直線EM與直線AP所成角為θ，從而通過cosθ=$|\frac{\overrightarrow{EM}•\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{EM}||\overrightarrow{AP}|}|=\frac{3\sqrt{14}}{14}$即可求出λ，從而求出M點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間距離公式即可求出MC．

解答 解：（Ⅰ）證明：∵D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)；
∴DE∥BC，BC?平面PBC，DE?平面PBC；
∴DE∥平面PBC，平面DENM∩平面PBC=MN；
∴DE∥MN；
∴MN∥BC；
（Ⅱ）如圖，在平面PAB內(nèi)作BZ∥PA，則根據(jù)：

PA⊥底面ABC，及AB⊥BC即知，BC，BA，BZ兩兩垂直；
∴以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC，BA，BZ所在直線為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則：
B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），P（0，2，2）；
∴$\overrightarrow{BC}=（2，0，0），\overrightarrow{BP}=（0，2，2）$，$\overrightarrow{AC}=（2，-2，0）$；
設(shè)平面PBC的法向量為$\overrightarrow{n}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$；
則由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$得：
$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{1}=0}\\{2{y}_{1}+2{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，令z₁=1，得x₁=0，y₁=-1；
∴$\overrightarrow{n}=（0，-1，1）$；
設(shè)直線AC和平面PBC所成角為α，則：
sinα=$|cos＜\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{n}＞|=|\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{n}|}|$=$\frac{2}{2\sqrt{2}•\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$；
又$α∈[0，\frac{π}{2}]$；
∴$α=\frac{π}{6}$；
即直線AC和平面PBC所成角為$\frac{π}{6}$；
（Ⅲ）設(shè)M（0，y，z），M在棱PB上，則：$\overrightarrow{BM}=λ\overrightarrow{BP}，（0＜λ＜1）$；
∴（0，y，z）=λ（0，2，2）；
∴M（0，2λ，2λ），E（1，1，0）；
∴$\overrightarrow{EM}=（-1，2λ-1，2λ），\overrightarrow{AP}=（0，0，2）$；
因?yàn)橹本�EM與直線AP所成角的余弦值$\frac{{3\sqrt{14}}}{14}$；
設(shè)直線EM和直線AP所成角為θ；
所以cosθ=$|\frac{\overrightarrow{EM}•\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{EM}||\overrightarrow{AP}|}|=\frac{4λ}{\sqrt{8{λ}^{2}-4λ+2}•2}=\frac{3\sqrt{14}}{14}$；
∴8λ²-18λ+9=0；
解得$λ=\frac{3}{4}$，或$λ=\frac{3}{2}$（舍去）；
∴M（0，$\frac{3}{2}，\frac{3}{2}$）；
∴$MC=\sqrt{4+\frac{9}{4}+\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{34}}{2}$．

點(diǎn)評 考查中位線的性質(zhì)，線面平行的判定定理及性質(zhì)定理，面面垂直的性質(zhì)定理，通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量解決空間直線與平面，及直線與直線所成角的問題的方法，線面角的定義及范圍，以及平面法向量的定義及求平面一個法向量的方法，兩向量夾角余弦的坐標(biāo)公式，兩點(diǎn)間的距離公式．