Question

5．設函數(shù)f（x）=x³+3ax²+3bx有兩個極值點x₁、x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]，則點（a，b）在aOb平面上所構成區(qū)域的面積為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． 1

Answer 1

分析 根據(jù)極值的意義可知，極值點x₁、x₂是導函數(shù)等于零的兩個根，根據(jù)根的分布建立不等關系，畫出滿足條件的區(qū)域，求解面積即可；

解答 解：函數(shù)f（x）=x³+3ax²+3bx，可得f′（x）=3x²+6ax+3b，
依題意知，方程f′（x）=0有兩個根x₁、x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]
等價于f′（-1）≥0，f′（0）≤0，f′（1）≤0，
f′（2）≥0．
由此得b，c滿足的約束條件為$\left\{\begin{array}{l}b≥2a-1\\ b≤0\\ b≤-2a-1\\ b≥-4a-4\end{array}\right.$，
滿足這些條件的點（a，b）的區(qū)域為圖中陰影部分．
陰影部分的面積為：$\frac{1+\frac{1}{2}}{2}×2-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1$=1．
故選：D．

點評 本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，以及二元一次不等式（組）與平面區(qū)域，是中檔題．