Question

5．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知圓C₁：（x+1）²+y²=1，圓C₂：（x-3）²+（y-4）²=1
（1）若過點（-2，0）的直線l與圓C₁交于A，B兩點，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{8}{3}$，求直線l的方程；
（2）設動圓C同時平分圓C₁的周長，圓C₂的周長，
①證明動圓圓心C在一條直線上運動；
②動圓C是否過定點？若經過，求出定點的坐標；若不經過，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設出直線l的方程，代入圓C₁的方程，得出A、B兩點的坐標關系，計算$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值，從而求出l的方程；
（2）①設出圓心C的坐標，由題意得CC₁=CC₂，列出方程，得出動圓圓心C的軌跡方程；
②動圓C過定點，設出C（m，3-m），寫出動圓C的方程，得出直線與圓的方程，構造方程組，即可求出定點的坐標．

解答 解：（1）設直線l的方程為y=k（x+2），代入（x+1）²+y²=1，得
（1+k²）x²+（4k²+2）x+4k²=0；
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁x₂=$\frac{{4k}^{2}}{1{+k}^{2}}$；
∵點（-2，0）在C₁上，不妨設A（-2，0），
則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂=$\frac{{4k}^{2}}{1{+k}^{2}}$=$\frac{8}{3}$；
解得k²=2
k=±$\sqrt{2}$；
∴l(xiāng)的方程為y=±$\sqrt{2}$（x+2）；
（2）①設圓心C（x，y），由題意，得CC₁=CC₂；
即$\sqrt{{（x+1）}^{2}{+y}^{2}}$=$\sqrt{{（x-3）}^{2}{+（y-4）}^{2}}$；
化簡得x+y-3=0；
即動圓圓心C在定直線x+y-3=0上運動；
②圓C過定點，設C（m，3-m），則動圓C的半徑為CM（或CN），
即$\sqrt{1{+{CC}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{1{+（m+1）}^{2}{+（3-m）}^{2}}$，
∴動圓C的方程為（x-m）²+（y-3+m）²=1+（m+1）²+（3-m）²，
整理，得x²+y²-6y-2-2m（x-y+1）=0；
由直線x-y+1=0和圓x²+y²-6y-2=0組成方程組
$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{{x}^{2}{+y}^{2}-6y-2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{3}{2}\sqrt{2}}\\{y=2+\frac{3}{2}\sqrt{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{3}{2}\sqrt{2}}\\{y=2-\frac{3}{2}\sqrt{2}}\end{array}\right.$；
∴定點的坐標為（1-$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，2-$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$），
（1+$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，2+$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$）．
畫出圖形，如圖所示

點評 本題考查了平面向量數量積的應用問題，也考查了直線與平面的綜合應用問題，考查了求點的軌跡的應用問題，是綜合性題目．