Question

已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，且x≥0時(shí)，f（x）=2^（x-1）．
（Ⅰ）當(dāng)x＜0時(shí)，求f（x）解析式；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-1，m]（m＞-1）時(shí)，求f（x）取值的集合．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）設(shè)x＜0，根據(jù)x≥0時(shí)的解析式求出f（-x），根據(jù)函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，便可求得x＜0時(shí)的解析式，這樣在R上的f（x）解析式就求出來了；
（Ⅱ）討論m，找到x∈[-1，m]時(shí)的解析式f（x），求f′（x），根據(jù)f′（x）的符號(hào)即可判斷函數(shù)在[-1，m]上的單調(diào)性，根據(jù)f（x）的單調(diào)性即可求出f（x）取值的集合．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)x＜0，則-x＞0，并且f（x）是偶函數(shù)，∴f（-x）=2^-x-1=f（x）；
∴f（x）=2^-x-1；
∴f(x)=

2x-1 x≥0 2-x-1 x＜0

；
（Ⅱ）①當(dāng)m＜0時(shí)，f（x）=2^-x-1，f′（x）=-2^-x-1ln2＜0；
∴函數(shù)f（x）在[-1，m]上為減函數(shù)，∴f（x）∈[f（m），f（-1）]=[2^-m-1，1]；
②當(dāng)m=0時(shí)，x∈[-1，0）時(shí)，f（x）=2^-x-1，由①知函數(shù)f（x）在[-1，0）上單調(diào)遞減；
∴f（x）∈（f（0），f（-1））=（

1

2

，1]；
x=0時(shí)，f（0）=

1

2

；
∴m=0時(shí)，f（x）取值的集合是{f（x）|

1

2

≤f（x）≤1}
③當(dāng)m＞0時(shí)，由②知x∈[-1，0）時(shí)，f（x）∈（

1

2

，1]；
x∈[0，m]時(shí)，f（x）=2^x-1，f′（x）=2^x-1ln2＞0，∴函數(shù)f（x）在[0，m]上單調(diào)遞增；
∴f（x）∈[f（0），f（m）]=[

1

2

，2^m-1]；
∴m＞0時(shí)，f（x）取值的集合是[

1

2

，2m-1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查根據(jù)奇偶性求函數(shù)解析式的方法，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，以及根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域的方法，并注意對(duì)m的討論．