Question

5．如圖，直三棱柱ABC-A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA′=1，點(diǎn)M，N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn)．
（I）證明：MN∥平面A′ACC′；
（Ⅱ）求三棱錐A′-MNA的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接由中位線定理可得線線平行，進(jìn)一步利用線面平行的判定定理得答案；
（Ⅱ）利用等積法，把三棱錐A′-MNA的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐M-A′AN的體積求解．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，
連接AB′、AC′，
在△AB′C′中，
∵M(jìn)，N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn)，
∴MN∥AC′，
AC′?面A′ACC′，MN?面A′ACC′，
∴MN∥平面A′ACC′；
（Ⅱ）解：在直三棱柱ABC-A′B′C′中，
∵∠BAC=90°，AB=AC=2，∴△A′B′C′為等腰直角三角形，
則A′N⊥B′C′，
又AA′⊥B′C′，
∴B′C′⊥面A′AN，即BC⊥面A′AN，
∴三棱錐B-A′AN的高為$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{2}$，
M為A′B的中點(diǎn)，∴M到面A′AN的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又△A′AN的面積為$\frac{1}{2}×A′N×AA′=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×1=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴${V}_{A′-MAN}={V}_{M-A′AN}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定，考查了棱錐體積的求法，訓(xùn)練了等積法的應(yīng)用，是中檔題．