Question

17．已知正數(shù)a，b滿足a+b=2．
（1）求ab的取值范圍；
（2）求ab+$\frac{1}{ab}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式的性質(zhì)即可得出；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：（1）∵a，b＞0，
∴2=a+b≥2$\sqrt{ab}$，解得0＜ab≤1．
∴ab的取值范圍是（0，1]；
（2）令ab=t，則ab+$\frac{1}{ab}$=t+$\frac{1}{t}$=f（t），由（1）可得t∈（0，1]．
∵f′（t）=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-1}{{t}^{2}}$＜0，∴函數(shù)f（t）在t∈（0，1]單調(diào)遞減，
因此當(dāng)t=1時，函數(shù)f（t）取得最小值，f（1）=1+1=2，即ab+$\frac{1}{ab}$取得最小值．

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，屬于中檔題．