Question

20．在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，D為側(cè)棱PB的中點(diǎn)，它的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，給出下列結(jié)論
①AD⊥平面PBC；
②BD⊥平面PAC；
③三棱錐D-ABC的體積為$\frac{16}{3}$；
④三棱錐P-ABC外接球的體積為32$\sqrt{3}$π，其中正確的結(jié)論有①④．

Answer 1

分析 ①由PA⊥平面ABC，可得PA⊥AD．由正視圖可知：PA=$\sqrt{P{B}^{2}-A{B}^{2}}$=AB=4，又D為側(cè)棱PB的中點(diǎn)，可得AD⊥PB．由PA⊥平面ABC，BA⊥BC，可得BC⊥AD，即可得出AD⊥平面PBC；
②由PB與PC不垂直，可得此BD與平面PAC不垂直；
③由側(cè)視圖可知：BC=4，可得S_△ABC=$\frac{1}{2}AB•BC$，可得三棱錐D-ABC的體積=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}$×PA，即可判斷出正誤；
④PC=$\sqrt{P{A}^{2}+A{C}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，取PC的中點(diǎn)O，連接OP=OA=OA=OB=2$\sqrt{3}$，即可得出三棱錐P-ABC外接球的體積，進(jìn)而判斷出．

解答 解：①∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AD．由正視圖可知：AB=4，PA=$\sqrt{P{B}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}-{4}^{2}}$=4=AB，又D為側(cè)棱PB的中點(diǎn)，∴AD⊥PB．由PA⊥平面ABC，BA⊥BC，∴BC⊥AD，又PB∩BC=B．∴AD⊥平面PBC．因此正確；
②∵PB與PC不垂直，因此BD與平面PAC不垂直；
③由側(cè)視圖可知：BC=4，∴S_△ABC=$\frac{1}{2}AB•BC$=$\frac{1}{2}×4×4$=8，∴三棱錐D-ABC的體積=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}$×PA=$\frac{1}{3}×8×4$=$\frac{32}{3}$，因此不正確；
④PC=$\sqrt{P{A}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{P{A}^{2}+A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，取PC的中點(diǎn)O，連接OP=OA=OA=OB=2$\sqrt{3}$，∴三棱錐P-ABC外接球的體積=$\frac{4π}{3}（2\sqrt{3}）^{3}$=32$\sqrt{3}$π，因此正確．
綜上可得：只有①④正確．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系及其判定、勾股定理、三棱錐的體積、外接球的體積，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．