Question

12．曲線C₁上任意一點M滿足|MF₁|+|MF₂|=4，其中F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0）拋物線C₂的焦點是直線y=x-1與x軸的交點，頂點為原點O．
（1）求C₁，C₂的標準方程；
（2）請問是否存在直線l滿足條件：①過C₂的焦點F；②與C₁交于不同兩點M，N，且滿足$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{ON}$？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知得曲線C₁是以F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0）為焦點，以4為實軸的橢圓，拋物線C₂的焦點是F（1，0），頂點為原點O．由此能求出求C₁，C₂的標準方程．
（2）設直線l的方程為y=k（x-1），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0，由此利用韋達定理結(jié)合向量垂直數(shù)量積為0的性質(zhì)能求出直線l的方程．

解答 解：（1）∵曲線C₁上任意一點M滿足|MF₁|+|MF₂|=4，其中F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0），
∴曲線C₁是以F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0）為焦點，以4為實軸的橢圓，
∴a=2，c=$\sqrt{3}$，∴b²=4-3=1，
∴曲線C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
∵拋物線C₂的焦點是直線y=x-1與x軸的交點，頂點為原點O，
∴拋物線C₂的焦點是F（1，0）
∴拋物線C₂的標準方程為：y²=4x．…（6分）
（2）假設存在存在直線直線l滿足條件：①過C₂的焦點F；②與C₁交于不同兩點M，N，且滿足$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{ON}$，
當直線l的斜率k不存在時，直線l的方程為x=0，不滿足條件；
當直線l的斜率k存在時，設直線l的方程為y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$，
${y}_{1}{y}_{2}={k}^{2}（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）$=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]，
∵$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{ON}$，∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂-k²（x₁+x₂）+k²
=$（1+{k}^{2}）•\frac{4{k}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$-${k}^{2}•\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$+k²=0，
解得k=2或k=-2，
∴直線l滿足條件，且l的方程為y=2x-2或y=-2x+2．…（13分）

點評 本題考查橢圓、拋物線的標準方程的求法，考查滿足條件的直線方程是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要注意圓錐曲線的性質(zhì)和韋達定理、向量垂直的性質(zhì)的合理運用．