Question

（文）已知數(shù)列{a_n}，如果數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁，b_n=a_n+a_n-1（n≥2，n∈N^*），則稱數(shù)列{b_n}是數(shù)列{a_n}的“生成數(shù)列”．
（1）若數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為數(shù)列a_n=n，寫(xiě)出數(shù)列{a_n}的“生成數(shù)列”{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{d_n}的通項(xiàng)為數(shù)列d_n=2ⁿ+n，求數(shù)列{d_n}的“生成數(shù)列”{p_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n；
（3）若數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式為c_n=An+B，（A，B是常數(shù)），試問(wèn)數(shù)列{c_n}的“生成數(shù)列”{l_n}是否是等差數(shù)列，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n=n，可得b₁=a₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=a_n+a_n-1=2n-1，即可得出．
（2）由數(shù)列d_n=2ⁿ+n，數(shù)列{d_n}的“生成數(shù)列”，p₁=d₁=3，當(dāng)n≥2時(shí)，p_n=d_n+d_n-1=3×2^n-1+2n-1．可得p_n=

3，n=1 3×2n-1+2n-1，n≥2

，當(dāng)n=1時(shí)，T₁=p₁=3，當(dāng)n≥2時(shí)，利用等比數(shù)列與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．
（3）l_n=

A+B，n=1 2An+2B-A，n≥2

．當(dāng)B=0時(shí)，l_n=2An-A，l_n+1-l_n=2A，即可判斷出．當(dāng)B≠0時(shí)，由于l₁=c₁=A+B，l₂=3A+2B，l₃=5A+2B，判斷l(xiāng)₂-l₁與l₃-l₂是否相等即可得出．

解答： 解：（1）∵a_n=n，
∴b₁=a₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=a_n+a_n-1=n+n-1=2n-1，當(dāng)n=1時(shí)也成立，
∴b_n=2n-1．
（2）由數(shù)列d_n=2ⁿ+n，數(shù)列{d_n}的“生成數(shù)列”，
p₁=d₁=2¹+1=3，當(dāng)n≥2時(shí)，p_n=d_n+d_n-1=2ⁿ+n+（2^n-1+n-1）=3×2^n-1+2n-1．
∴p_n=

3，n=1 3×2n-1+2n-1，n≥2

，
當(dāng)n=1時(shí)，T₁=p₁=3，
當(dāng)n≥2時(shí)，
T_n=3+

3×2(2n-1-1)

2-1

+

(n-1)(3+2n-1)

2

=3+3×2ⁿ-6+（n-1）（n+1）
=3×2ⁿ+n²-4．
（3）l_n=

A+B，n=1 2An+2B-A，n≥2

．
當(dāng)B=0時(shí)，l_n=2An-A，l_n+1-l_n=2A，∴數(shù)列{c_n}的“生成數(shù)列”{l_n}是等差數(shù)列．
當(dāng)B≠0時(shí)，由于l₁=c₁=A+B，l₂=3A+2B，l₃=5A+2B，此時(shí)l₂-l₁=2A+B，l₃-l₂=2A，
∵2A≠2A+B，
∴數(shù)列{c_n}的“生成數(shù)列”{l_n}不是等差數(shù)列．
綜上可得：當(dāng)B=0時(shí)，數(shù)列{c_n}的“生成數(shù)列”{l_n}是等差數(shù)列．
當(dāng)B≠0時(shí)，數(shù)列{c_n}的“生成數(shù)列”{l_n}不是等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了新定義“生成數(shù)列”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．