Question

10．下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的有（　�。﹤�(gè)．
①已知（1-2x）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷，則a₁+a₂+…+a₇=-3；
②過原點(diǎn)作曲線y=e^x的切線，則切線方程為ex-y=0（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）；
③已知隨機(jī)變量X～N（3，1），且P（2≤X≤4）=0.6862，則P（X＞4）=0.1587
④已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$=2（$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+4}$+…+$\frac{1}{2n}$）時(shí)，若假設(shè)n=k（k≥2）時(shí)，命題為真，則還需利用歸納假設(shè)再證明n=k+1時(shí)等式成立，即可證明等式對一切正偶數(shù)n都成立．
⑤在回歸分析中，常用R²來刻畫回歸效果，在線性回歸模型中，R²表示解釋變量對于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率，R²越接近1，表示回歸的效果越好．

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 ①先求得 a₀=${C}_{7}^{0}$=1，把x=1代入已知的等式求得a₁+a₂+…+a₇ 的值．
②根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)設(shè)出的切點(diǎn)坐標(biāo)和原點(diǎn)求出切線的斜率，同時(shí)由f（x）求出其導(dǎo)函數(shù)，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中即可表示出切線的斜率，兩次求出的斜率相等列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，進(jìn)而得到切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和切線過原點(diǎn)寫出切線方程即可．
根據(jù)正態(tài)分布的對稱性判斷③正確；
④根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟應(yīng)當(dāng)先證明n=2時(shí)成立，故命題不正確；
⑤根據(jù)線性相關(guān)指數(shù)的定義和性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．

解答 解：①利用已知可求：a₀=${C}_{7}^{0}$=1，把x=1代入已知的等式可得-1=a₀+a₁+a₂+…+a₇ ，從而求得a₁+a₂+…+a₇=-2，故命題錯(cuò)誤；
②設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（a，e^a），
又切線過（0，0），得到切線的斜率k=$\frac{{e}^{a}}{a}$，
又f′（x）=e^x，把x=a代入得：斜率k=f′（a）=e^a，
則e^a=$\frac{{e}^{a}}{a}$，由于e^a＞0，則得到a=1，
即切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，e），
所以切線方程為：y=ex，即切線方程為ex-y=0（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），故命題正確；
③根據(jù)正態(tài)分布的對稱性P（ξ＞4）=$\frac{1}{2}$×（1-0.6826）=0.1587，故③正確；
④應(yīng)當(dāng)先證明n取第一個(gè)值n=2時(shí)命題成立，故錯(cuò)誤；
⑤在回歸分析中，常用R²來刻畫回歸效果，在線性回歸模型中，R²表示解釋變量對于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率，R²越大，意味著模型擬合的效果越好，故命題錯(cuò)誤．
綜上知，僅有兩個(gè)正確，
故選A

點(diǎn)評 此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，線性回歸模型等知識的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，屬于難題．