Question

3．已知點(diǎn)A（$\frac{3}{2}$，-1）在拋物線C：x²=2py（p＞0）的準(zhǔn)線l₁上，過點(diǎn)A作一條斜率為2的直線l₂，點(diǎn)P是拋物線
上的動點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l₁和到直線l₂的距離之和的最小值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． 2
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 點(diǎn)F作直線l₂的垂線FH，垂足為H，則線段FH與拋物線C的交點(diǎn)為所求的點(diǎn)P．由拋物線的定義可得，|PF|為點(diǎn)P到直線的l₁距離，又|PH|為點(diǎn)P到直線l₂的距離，所以點(diǎn)P到直線l₁和到直線l₂的距離之和的最小值是F到直線l₂的距離．

解答 解：由題意，拋物線的焦點(diǎn)為F（0，1），則直線l₂的方程為2x-y-4=0，
過點(diǎn)F作直線l₂的垂線FH，垂足為H，則線段FH與拋物線C的交點(diǎn)為所求的點(diǎn)P．
由拋物線的定義可得，|PF|為點(diǎn)P到直線的l₁距離，
又|PH|為點(diǎn)P到直線l₂的距離，
所以點(diǎn)P到直線l₁和到直線l₂的距離之和的最小值是F到直線l₂的距離d=$\frac{|0-1-4|}{\sqrt{{2}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\sqrt{5}$，
所以點(diǎn)P到直線l₁和到直線l₂的距離之和的最小值是$\sqrt{5}$．
故選：B．

點(diǎn)評 此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用拋物線的簡單性質(zhì)解決實(shí)際問題，靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式化簡求值，是一道中檔題．