Question

14．如圖，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．
（Ⅰ）求證：PC⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明PC⊥平面ABC；
（Ⅱ）建立坐標系，利用向量法即可求二面角B-AP-C的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）取AB的中點D，連結(jié)PD，CD．
∵AP=BP，∴PD⊥AB．
∵AC=BC，∴CD⊥AB．
∵PD∩CD=D，
∴AB⊥平面PCD．----（3分）
∵PC?平面PCD，
∴PC⊥AB，
又∵PC⊥AC，
∴PC⊥平面ABC-----（6分）
（Ⅱ）如圖，以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz．
則C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）．
設P（0，0，t）．---（8分）
∵|PB|=|AB|=2$\sqrt{2}$，
∴t=2，P（0，0，2）．----（9分）
取AP中點E，連結(jié)BE，CE．
∵|AC|=|PC|，|AB|=|BP|，
∴CE⊥AP，BE⊥AP．
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．
∵E（0，1，1），$\overrightarrow{EC}=（0，-1，-1）$，$\overrightarrow{EB}=（2，-1，-1）$，
∴cos$∠BEC=\frac{\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{EB}}{|\overrightarrow{EB}||\overrightarrow{EC}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角B-AP-C的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題主要考查線面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐標系，利用向量法是解決空間角的常用方法．