Question

20．已知f（x）=alog₂x-x-3a，若對(duì)任意的x∈（0，b]，任意a∈（-∞，-1]，不等式f（x）≥0恒成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（0，2]．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到f（x）在（0，b]遞減，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為${log}_{2}^$-b-3a≥-${log}_{2}^$-b+3≥0，解出即可．

解答 解：∵a∈（-∞，-1]，
∴f′（x）=$\frac{a}{xln2}$-1＜0，
∴f（x）在（0，b]遞減，
f（x）_min=f（b）=a${log}_{2}^$-b-3a≥-${log}_{2}^$-b+3≥0，
∴${log}_{2}^$+b-3≤0，解得；0＜b≤2，
故答案為：（0，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．