Question

2．已知等比數(shù)列{a_n}中，各項都是正數(shù)，且a₁，$\frac{1}{2}$a₃，2a₂成等差數(shù)列，則$\frac{{a}_{6}+{a}_{7}}{{a}_{8}+{a}_{9}}$等于（　　）

• A． 1+$\sqrt{2}$
• B． 1-$\sqrt{2}$
• C． 3+2$\sqrt{2}$
• D． 3-2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)所給的三項成等差數(shù)列，寫出關(guān)系式，得到公比的值，把要求的代數(shù)式整理成只含有首項和公比的形式，進一步化簡計算得到結(jié)果．

解答 解：∵a₁，$\frac{1}{2}$a₃，2a₂成等差數(shù)列，
∴a₃=a₁+2a₂，
∴q²-2q-1=0，
∴q=1+$\sqrt{2}$，q=1-$\sqrt{2}$（舍去），
∴$\frac{{a}_{6}+{a}_{7}}{{a}_{8}+{a}_{9}}$=$\frac{{q}^{5}+{q}^{6}}{{q}^{7}+{q}^{8}}$=$\frac{1+q}{{q}^{2}+{q}^{3}}$=$\frac{1}{{q}^{2}}$=$\frac{1}{（1+\sqrt{2}）^{2}}$=$\frac{1}{3+2\sqrt{2}}$=3-2$\sqrt{2}$，
故選：D．

點評 本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了學(xué)生綜合分析的能力和對基礎(chǔ)知識的理解，是基礎(chǔ)題．