Question

設正項數列{a_n}的前n項和為S_n，并且對于任意n∈N^*，a_n與1的等差中項等于

Sn

，
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記b_n=a_n（

1

3

）ⁿ，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（Ⅰ）由a_n與1的等差中項等于

Sn

得遞推式S_n=

(an+1)2

4

，由此求出數列首項，結合a_n+1=S_n+1-S_n得到
{a_n}是以1為首項，2為公差的等差數列，則數列{a_n}的通項公式可求；
（Ⅱ）把數列{a_n}的通項公式代入b_n=a_n（

1

3

）ⁿ，然后利用錯位相減法求數列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知得，

Sn

=

an+1

2

，即S_n=

(an+1)2

4

．
∴a₁=S₁=1．
又∵a_n+1=S_n+1-S_n=

1

4

[（a_n+1+1）²-（a_n+1）²]，
∴（a_n+1-1）²-（a_n+1）²=0，
即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0，
∵a_n＞0，
∴a_n+1-a_n=2，
∴{a_n}是以1為首項，2為公差的等差數列，
∴a_n=2n-1；
（2）b_n=a_n（

1

3

）ⁿ=（2n-1）(

1

3

)n，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=1•(

1

3

)1+3•(

1

3

)2+…+(2n-1)(

1

3

)n．

1

3

Tn=1•(

1

3

)2+3•(

1

3

)3+…+(2n-3)(

1

3

)n+(2n-1)(

1

3

)n+1．
兩式作差得：

2

3

Tn=

1

3

+2[(

1

3

)2+(

1

3

)3+…+(

1

3

)n]-(2n-1)(

1

3

)n+1
=

1

3

+2×

1 9 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-(2n-1)(

1

3

)n+1．
∴Tn=1-

n+1

3n

．

點評：本題考查了數列遞推式，考查了等差關系的確定，訓練了錯位相減法求數列的和，是中檔題．