Question

設(shè)f（x）=-

1

3

x³+

1

2

x²+2ax．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的極值；
（2）若f（x）在（

2

3

，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=-x²+x+2，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的極值．
（2）f′（x）=-x²+x+2a=-（x-

1

2

）²+

1

4

+2a，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出當(dāng)a＞-

1

9

時(shí)，f（x）在[

2

3

，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=-

1

3

x³+

1

2

x²+2x，
f′（x）=-x²+x+2，
由f′（x）=0，得x=-1，或x=2，
由f′（x）＜0，得x＜-1或x＞2，
由f′（x）＞0，得-1＜x＜2，
∴f（x）的減區(qū)間為（-∞，-1），（2，+∞），
f（x）的增區(qū)間為（-1，2）．
∴f（x）_極小值=f（-1）=-

7

6

；f（x）_極大值=f（2）=

10

3

．
（2）f′（x）=-x²+x+2a=-（x-

1

2

）²+

1

4

+2a，
當(dāng)x∈[

2

3

，+∞）時(shí)，
f′（x）的最大值為f′(

2

3

)=

2

9

+2a，
令

2

9

+2a＞0，得a＞-

1

9

．
∴當(dāng)a＞-

1

9

時(shí)，f（x）在（

2

3

，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的極大值和極小值的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．