Question

已知函數(shù)f（x）=

x+a

x+b

（a、b為常數(shù)）
（1）若b=1，解不等式f（x-1）＜0；
（2）若a=1，當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，f（x）＞

-1

(x+b)2

恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,其他不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）把b=1代入函數(shù)解析式，求出f（x-1），分a＜1、a=1、a＞1直接求解不等式f（x-1）＜0得答案；
（2）把a(bǔ)=1代入f（x）的解析式，把不等式f（x）＞

-1

(x+b)2

恒成立轉(zhuǎn)化為不等式（x+b）（x+1）＞-1成立，分離參數(shù)b后利用基本不等式求最值，則b的取值范圍可求．

解答： 解析：（1）∵f(x)=

x+a

x+b

，b=1，
∴f(x)=

x+a

x+1

，
∴f(x-1)=

(x-1)+a

(x-1)+1

=

x-1+a

x

，
∵f（x-1）＜0，
∴

x-1+a

x

＜0，等價(jià)于x[x-（1-a）]＜0，
①當(dāng)1-a＞0，即a＜1時(shí)，不等式的解集為：（0，1-a），
②當(dāng)1-a=0，即a=1時(shí)，不等式的解集為：x∈∅，
③當(dāng)1-a＜0，即a＞1時(shí)，不等式的解集為：（1-a，0），
（2）∵a=1，f(x)＞

-1

(x+b)2

，
∴

x+1

x+b

＞

-1

(x+b)2

等價(jià)于（x+b）（x+1）＞-1．
顯然x≠-b，且當(dāng)x=-1時(shí)不等式（x+b）（x+1）＞-1成立．
由x∈[-1，2]時(shí)不等式恒成立，得
b＞-

1

x+1

-x=1-(

1

x+1

+x+1)，
∵x+1＞0，
∴

1

x+1

+(x+1)≥2

1 x+1 •(x+1)

=2．
故b＞-1．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查了分離參數(shù)法，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．