Question

（文科）如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁D₁，中，側面BB₁C₁C為菱形，B₁C的中點為O，且AO⊥平面BB₁C₁C．
（1）證明：B₁C⊥AB；
（2）若AC⊥AB₁，∠CBB₁=60°，BC=1，求三棱錐A-BB₁C的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：計算題,證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）要證B₁C⊥AB，即證B₁C⊥平面ABC₁，由菱形的對角線垂直和線面垂直的性質，即可得證；
（2）由線面垂直可得棱錐的高為AO，由直角三角形的性質，可得高，再由棱錐的體積公式，即可得到．

解答： （1）證明：AO⊥平面BB₁C₁C，則AO⊥B₁C，
菱形BB₁C₁C，則B₁C⊥BC₁，
AO∩BC₁=O，AO，BC₁?平面ABC₁，
則有B₁C⊥平面ABC₁，
則B₁C⊥AB；
（2）菱形BB₁C₁C中，∠CBB₁=60°，BC=1，則B₁C=1，
AO⊥平面BB₁C₁C，則AO⊥B₁C，由于AC⊥AB₁，
則AO=

1

2

B₁C=

1

2

，
則三棱錐A-BB₁C的體積

1

3

AO•

1

2

×1×1×sin60°=

3

12

×

1

2

=

3

24

．

點評：本題考查線面垂直的性質和判定定理及運用，考查棱錐的體積公式和運用，考查運算能力，屬于基礎題．