Question

17．若直線y=kx與曲線f（x）=$\frac{lnx}{x}$相切，求實(shí)數(shù)k的值：

Answer 1

分析 設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)P（a，$\frac{lna}{a}$），求出導(dǎo)函數(shù)y′，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即k=y′|_x=a，再根據(jù)切點(diǎn)在切線上，列出關(guān)于a和k的方程組，求解即可求得k的值．

解答 解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為P（a，$\frac{lna}{a}$），
∵曲線y=$\frac{lnx}{x}$，
∴y′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴k=y′|_x=a=$\frac{1-lna}{{a}^{2}}$，①
又∵切點(diǎn)P（a，$\frac{lna}{a}$）在切線y=kx上，
∴$\frac{lna}{a}$=ka，②
由①②，解得a=$\sqrt{e}$，k=$\frac{1}{2e}$，
∴實(shí)數(shù)k的值為$\frac{1}{2e}$．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．導(dǎo)數(shù)的幾何意義即在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即該點(diǎn)處切線的斜率，解題時(shí)要注意運(yùn)用切點(diǎn)在曲線上和切點(diǎn)在切線上．屬于中檔題．