Question

11．如圖，在四棱錐S-ABCD中，平面SAD⊥底面ABCD，$∠SAD=\frac{π}{3}$，在AD邊上取一點(diǎn)E，使得BCDE為矩形，SA=2AE=DE=2．
（1）證明：BC⊥平面SBE；
（2）若$\overrightarrow{SF}=λ\overrightarrow{FC}$（λ∈R），且SA∥平面BEF，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）先求出SE=$\sqrt{3}$，所以SE⊥AD，進(jìn)而SE⊥CB，BE⊥CB，由此能證明CB⊥平面SBE；
（2）連接AC交BE于點(diǎn)M，連接FM，由已知得FM∥AS，由EM∥CD，F(xiàn)M∥AS，能求出λ．

解答 （1）證明：因?yàn)镾A=2，AE=1，∠SAD=60°，
所以SE=$\sqrt{3}$，所以SE⊥AD
又平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD=AD，
所以SE⊥平面ABCD，
所以SE⊥CB，
又BE⊥CB，且SE∩BE=E．
所以CB⊥平面SBE．
（2）解：連接AC交BE于點(diǎn)M，連接FM，
因?yàn)镾A∥平面BEF，平面SAC∩平面BEF=FM，所以FM∥AS．
因?yàn)镋M∥CD，所以$\frac{AM}{MC}=\frac{AE}{ED}$=$\frac{1}{2}$，
因?yàn)镕M∥AS，所以$\frac{SF}{FC}=\frac{AM}{MC}$=$\frac{1}{2}$，
所以$λ=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查線面垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．