Question

7．正三棱錐高為1，底面邊長為2$\sqrt{6}$，內(nèi)有一球與四個面都相切．
（1）求棱錐的全面積；
（2）求球的半徑及表面積．

Answer 1

分析 （1）過PA與球心O作截面PAE，與平面PCB交于PE，與平面ABC交于AE，確定AE即是△ABC中BC邊上的高，又是BC邊上的中線，因?yàn)檎�三棱錐的高PD=1通過球心，所以D是三角形△ABC的重心，可求棱錐的表面積．
（2）利用△POF∽△PED，求出球的半徑及表面積．

解答 解：過PA與球心O作截面PAE，與平面PCB交于PE，與平面ABC交于AE（如圖）
∵△ABC是正三角形，
∴AE即是△ABC中BC邊上的高，又是BC邊上的中線，
又因?yàn)檎�三棱錐的高PD=1通過球心，所以D是三角形△ABC的重心，
∵底面正三角形邊長為2$\sqrt{6}$，
∴DE=$\frac{1}{3}$AE=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2$\sqrt{6}$=$\sqrt{2}$，
又PE為側(cè)面之高，所以PE=$\sqrt{3}$．
所以棱錐的表面積=3×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{6}$×$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（2$\sqrt{6}$）²=9$\sqrt{3}$+6$\sqrt{3}$．
（2）設(shè)球的半徑為r，由△POF∽△PED，知$\frac{r}{DE}$=$\frac{1-r}{PE}$，
所以r=$\sqrt{6}$-2，S=4πr²=（32-16$\sqrt{6}$）π．

點(diǎn)評 本題考查棱錐的表面積和球的半徑，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．