Question

設(shè)f（x）=ax³+bx+c（a≠0）為奇函數(shù)，其圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為6x+y+4=0．
（1）求a，b，c的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由f（x）為奇函數(shù)，得c=0．求導(dǎo)得f′（x）=3ax²+b，由已知得

f′(x)=3a+b=-6 f(1)=ab=-10

，從而得到a=2，b=-12，c=0．
（2）由（1）得f（x）=2x³-12x．f′(x)=6x2-12=6(x+

2

)(x-

2

)，列表討論，能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

解答： 解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），
即-ax³-bx+c=-ax³-bx-c，∴c=0．
∵f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為6x+y+4=0，
∴f（1）=y=-10，
求導(dǎo)得f′（x）=3ax²+b，∴

f′(x)=3a+b=-6 f(1)=ab=-10

，
解得a=2，b=-12，
∴a=2，b=-12，c=0．…（6分）
（2）由（1）得f（x）=2x³-12x．∴f′(x)=6x2-12=6(x+

2

)(x-

2

)，列表如下：

x	（-∞，- 2 ）	- 2	（- 2 ， 2 ）	2	（ 2 ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小	↑

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-

2

）和（

2

，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（-

2

，

2

）．
∴f（x）_極大值=f(-

2

)=8

2

，f（x）_極小值=-8

2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查極值的概念、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理論證能力，分類討論等綜合解題能力．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．