Question

14．已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求直線AC與平面CBE所成角正弦值；
（Ⅲ）求面ACD和面BCE所成銳二面角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得DE⊥AF，AF⊥CD，由此能證明AF⊥平面CDE．
（2）取CE的中點(diǎn)Q，連結(jié)FQ，由FD，F(xiàn)Q，F(xiàn)A兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AC與平面CBE所成角正弦值；
（Ⅲ）利用向量法能求出平面ACD和平面BCE所成銳二面角的大小．

解答 （Ⅰ）證明：∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，
∴DE⊥AF．
又∵AC=AD，F(xiàn)為CD中點(diǎn)，∴AF⊥CD，
因CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE．…（4分）
（Ⅱ）解：取CE的中點(diǎn)Q，連接FQ，
∵F為CD的中點(diǎn)，∴FQ∥DE，故DE⊥平面ACD
∴FQ⊥平面ACD，又由（Ⅰ）可知FD，F(xiàn)Q，F(xiàn)A兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系F-xyz，則F（0，0，0），C（-1，0，0），A（0，0，$\sqrt{3}$），B（0，1，$\sqrt{3}$），E（1，2，0），
∴$\overrightarrow{CB}$=（1，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CA}$=（1，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CE}$=（2，2，0），
設(shè)平面CBE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{x+y+\sqrt{3}=0}\\{2x+2y=0}\end{array}\right.$
設(shè)x=1，則$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0）
∴cos＜$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴直線AC與平面CBE所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$；．…（10分）
（Ⅲ）平面ACD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{FQ}$=（0，1，0），則cos＜$\overrightarrow{FQ}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{|0-1+0|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴面ACD和面BCE所成銳二面角的大小為45°．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線AC與平面CBE所成角正弦值、求面ACD和面BCE所成銳二面角的大小的求法，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．