Question

2．設(shè)實數(shù)x∈R，則y=x+$\frac{1}{x+1}$的值域為（-∞，-3]∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 把已知函數(shù)解析式變形，然后分x+1＞0和x+1＜0分類求解得答案．

解答 解：y=x+$\frac{1}{x+1}$=x+1+$\frac{1}{x+1}-1$．
當x+1＞0時，$x+1+\frac{1}{x+1}≥2\sqrt{（x+1）•\frac{1}{x+1}}=2$，
當且僅當$x+1=\frac{1}{x+1}$，即x=0時等號成立，此時y≥1；
當x+1＜0時，$x+1+\frac{1}{x+1}=-[-（x+1）+\frac{1}{-（x+1）}]$$≤-2\sqrt{-（x+1）•\frac{1}{-（x+1）}}=-2$，
當且僅當$-（x+1）=\frac{1}{-（x+1）}$，即x=-2時等號成立，此時y≤-3．
綜上，y=x+$\frac{1}{x+1}$的值域為（-∞，-3]∪[1，+∞）．
故答案為：（-∞，-3]∪[1，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)值域的求法，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．