Question

已知函數(shù)f（x）=2（sinx-cosx）•cosx+1，求此函數(shù)在[

π

8

，

3π

4

]上的單調(diào)區(qū)間和最值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用三角函數(shù)中的恒等變換可求得f（x）=

2

sin（2x-

π

4

），利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值即可求得此函數(shù)在[

π

8

，

3π

4

]上的單調(diào)區(qū)間和最值．

解答： 解：f（x）=2（sinx-cosx）•cosx+1
=sin2x-（1+cos2x）+1
=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

），
∵x∈[

π

8

，

3π

4

]，
∴2x-

π

4

∈[0，

5π

4

]，
由0≤2x-

π

4

≤

π

2

，得

π

8

≤x≤

3π

8

，即此函數(shù)在[

π

8

，

3π

8

]上單調(diào)遞增；
由

π

2

≤2x-

π

4

≤

5π

4

，得

3π

8

≤x≤

3π

4

，即此函數(shù)在[

3π

8

，

3π

4

]上單調(diào)遞減；
f（x）_min=f（

3π

4

）=-1，f（x）_max=f（

3π

8

）=

2

．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，著重考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于中檔題．