10.已知函數(shù)f(x)=cos2x+a|sinx|+$\frac{1}{4}$a-$\frac{3}{2}$的最大值為1.求實(shí)數(shù)a的值.

分析 通過平方關(guān)系,利用合換元法和配方法得f(t)=-t2+at+$\frac{1}{4}$a-$\frac{1}{2}$,對(duì)a分類討論,結(jié)合函數(shù)的最值,即可求出a的值.

解答 解:函數(shù)f(x)=cos2x+a|sinx|+$\frac{1}{4}$a-$\frac{3}{2}$
=1-sin2x+a|sinx|+$\frac{1}{4}$a-$\frac{3}{2}$
=-${(|sinx|-\frac{a}{2})}^{2}$+$\frac{{a}^{2}}{4}$+$\frac{1}{4}$a-$\frac{1}{2}$,
設(shè)|sinx|=t,
則y=f(t)=-t2+at+$\frac{1}{4}$a-$\frac{1}{2}$,t∈[0,1],對(duì)稱軸為t=$\frac{a}{2}$;
當(dāng)$\frac{a}{2}$<0,即a<0時(shí),ymax=f(0)=$\frac{1}{4}$a-$\frac{1}{2}$=1,a=6(舍去);
當(dāng)0≤$\frac{a}{2}$≤1,即0≤a≤2時(shí),ymax=f($\frac{a}{2}$)=$\frac{{a}^{2}}{4}$+$\frac{1}{4}$a-$\frac{1}{2}$=1,此時(shí)a=2或a=-3(舍去);
當(dāng)$\frac{a}{2}$>1,即a>2時(shí),ymax=f(1)=$\frac{5}{4}$a-$\frac{3}{2}$=1,解得a=2(舍去);
綜上,實(shí)數(shù)a=2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的最值的應(yīng)用問題,也考查分類討論思想,配方法、換元法的應(yīng)用問題,注意三角函數(shù)的有界性,是解題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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20.已知點(diǎn)M(a,b,c)是空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的一點(diǎn),則與點(diǎn)M關(guān)于z軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是( 。
A.(a,-b,-c)B.(-a,b,-c)C.(-a,-b,c)D.(-a,-b,-c)

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1.若關(guān)于x的不等式x2+3mx-4<0的解集為(-4,1),則m的值為1.

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18.用集合的語言表示下列語句,并畫圖表示:
(1)平面α上有兩點(diǎn)A、B,直線l過A、B;
(2)點(diǎn)A在直線l上,直線l與平面α無公共點(diǎn);
(3)直線a與平面α相交于點(diǎn)P,直線b在平面α上且不經(jīng)過點(diǎn)P.

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5.若y=2asin(2x-$\frac{π}{3}$)+b,x∈[0,$\frac{π}{2}$]的最大值是1,最小值是-5,求a,b的值.

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15.憊設(shè)f(x)=-m(m+e)x2,g(x)=x2+(m-1)x-m,其中e均自然對(duì)數(shù)的底數(shù),若?x∈R,使得f(x)<0或g(x)<0,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( 。
A.{m|-e≤m≤0}B.{m|0≤m≤e}C.{m∈R|m≠-1}D.{-1}

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2.若f(x)=sin(2ωx-$\frac{π}{6}$)的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{6}$對(duì)稱,其中ω∈(-$\frac{1}{2}$,$\frac{5}{2}$).
(1)求f(x)的解析式;
(2)已知x∈[-$\frac{π}{2}$,π],求f(x)的增區(qū)間.

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19.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且對(duì)任意的n∈N+,恒有Sn2=a13+a23+…+an3
(1)求a1,a2的值;
(2)猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an,并給予證明.

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14.若函數(shù)f(x)=x2+ax+1在(0,2)上有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為$(-\frac{5}{2},-2)$.

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