Question

已知圓M：2x²+2y²-8x-8y-1=0和圓N：x²+y²+2x+2y-6=0，直線l：x+y-9=0．
（1）求過圓M，N的交點及原點O的圓的方程；
（2）過直線上一點作使∠BAC=45°，邊AB過圓心M，且B，C在圓M上．
①當點A的橫坐標為4時，求直線AC的方程；
②求點A的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：直線與圓

分析：（1）根據(jù)題意，設所求圓的方程為2x²+2y²-8x-8y-1+λ（x²+y²+2x+2y-6）=0（λ≠-2），把原點代入即可得出．
（2））①當點A的橫坐標為4時，則點A（4，5），而圓心M（2，2），可得|AM|=

13

，又∠BAC=45°，邊AB過圓心M，且B，C在圓M上，圓心M到邊AC所在直線的距離為d=|AM|sin∠BAC=

26

2

，設邊AC所在直線的方程為y-5=k（x-4），利用d=

|3-2k|

k2+1

=

26

2

，解得k即可．
②A點在直線l：x+y-9=0上，設點A（m，9-m），則|AM|=

2m2-18m+53

，而∠BAC=45°，邊AB過圓心M，且B，C在圓M上，且圓M的半徑為

34

2

，可得

2

2

•

2m2-18m+53

≤

34

2

，解得即可．

解答： 解：（1）根據(jù)題意，設所求圓的方程為2x²+2y²-8x-8y-1+λ（x²+y²+2x+2y-6）=0（λ≠-2），
又所求圓過原點O，則-1-6λ=0，得λ=-

1

6

所求圓的方程為2x2+2y2-8x-8y-1-

1

6

(x2+y2+2x+2y-6)=0，即x2+y2-

50

11

x-

50

11

y=0
（2）①當點A的橫坐標為4時，則點A（4，5），而圓心M（2，2），則|AM|=

13

，
又∠BAC=45°，邊AB過圓心M，且B，C在圓M上，
則圓心M到邊AC所在直線的距離為d=|AM|sin∠BAC=

26

2

，
設邊AC所在直線的方程為y-5=k（x-4），
∴d=

|3-2k|

k2+1

=

26

2

，解得k=-5或k=

1

5

．
則邊AC所在直線的方程為y-5=-5（x-4）或y-5=

1

5

(x-4)，
即5x+y-25=0或x-5y+21=0．
②∵A點在直線l：x+y-9=0上，設點A（m，9-m），則|AM|=

2m2-18m+53

，
而∠BAC=45°，邊AB過圓心M，且B，C在圓M上，且圓M的半徑為

34

2

，
則

2

2

•

2m2-18m+53

≤

34

2

，解得3≤m≤6．
即點A的橫坐標的取值范圍為[3，6]．

點評：本題考查了直線與圓的相交問題、圓的標準方程及其性質(zhì)、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．