Question

19．已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c，且f（1+x）=f（1-x），f（0）=-2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知a∈R，p：當0＜x＜1時，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立；q：當x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-ax是單調(diào)函數(shù)，若p或q為真，p且q為假，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由二次函數(shù)的性質(zhì)，得到對稱軸和c，由此得到函數(shù)解析式，
（2）分別得到命題p和q為真命題時a的取值范圍，再分別找到p真q假和p假q真時a的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²+bx+c，且f（1+x）=f（1-x），f（0）=-2．
∴c=-2，函數(shù)對稱軸是x=1，
∴b=-2，
∴f（x）的解析式是f（x）=x²-2x-2，
（2）∵命題p：當0＜x＜1時，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立；
∴a＞x²-4x+1，對0＜x＜1時恒成立，
∴a大于y=x²-4x+1，在0＜x＜1時的最大值，
∴a≥1，
∵命題q：當x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-ax是單調(diào)函數(shù)，
∴函數(shù)g（x）=x²-（2+a）x-2的對稱軸不在區(qū)間[-2，2]里，
∴a≤-6或a≥2，
∵若p或q為真，p且q為假，
∴p和q中一真一假，
①p真q假時，$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{-6＜a＜2}\end{array}\right.$
得：1≤a＜2，
②p假q真時，$\left\{\begin{array}{l}{a＜1}\\{-6≤a或a≥2}\end{array}\right.$
得：a≤-6，
綜上所述：a≤-6或1≤a＜2．

點評 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，以及命題的運算，需分類討論．