Question

14．已知直線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），圓C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）
（1）當(dāng)α=$\frac{π}{3}$時，求C₁被C₂截得的線段的長；
（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)O作C₁的垂線，垂足為A，當(dāng)α變化時，求A點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立兩個解析式，得到交點(diǎn)，利用兩點(diǎn)距離公式得到截得線段的長．
（2）由A對應(yīng)的參數(shù)，得到的參數(shù)方程，由此得到普通方程．

解答 解：（1）當(dāng)a=$\frac{π}{3}$時，C₁的普通方程為y=$\sqrt{3}$（x-1），C₂的普通方程為x²+y²=1．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-1）}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
解得C₁與C₂的交點(diǎn)為（1，0）與（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
所以，C₁被C₂截得的線段的長為1．                         
（2）將C₁的參數(shù)方程代C₂的普通方程得t²+2tcosα=0，
∴A點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)t=$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}$=-cosα，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（sin²α，-cosαsinα）．
故當(dāng)α變化時，A點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=si{n}^{2}α}\\{y=-sinαcosα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．
因此，A點(diǎn)軌跡的普通方程為（x-$\frac{1}{2}$）²+y²=$\frac{1}{4}$．
故A點(diǎn)軌跡是以（$\frac{1}{2}$，0）為圓心，半徑為$\frac{1}{2}$的圓．

點(diǎn)評 本題考查聯(lián)立解析式，兩點(diǎn)距離公式，由對應(yīng)的參數(shù)，得到的參數(shù)方程．