Question

11．三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=2BC=4$\sqrt{3}$，AB=2，∠BAC=60°，則其外接球的表面積為（　　）

• A． 4π
• B． 12π
• C． 16π
• D． 64π

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫出圖形，結合圖形確定PC的中點O為球心，求出球的半徑，利用球的表面積公式，即可求得結論．

解答 解：如圖所示，
∵PA⊥面ABC，BC?面ABC，
∴PA⊥BC；
又AB=2，BC=2$\sqrt{3}$，∠BAC=60°，
∴$\frac{2}{sin∠ACB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{sin60°}$，
∴sin∠ACB=$\frac{1}{2}$，
∴∠ACB=30°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC；
又PA∩AB=A，
∴BC⊥面PAB；
又∵PB?面PAB，
∴BC⊥PB；
取PC的中點O，則OP=OA=OB=OC，∴O為球心
∵PA=4$\sqrt{3}$，AC=2AB=4，
∴PC=$\sqrt{{（4\sqrt{3}）}^{2}{+4}^{2}}$=8；
∴球半徑為r=$\frac{1}{2}$PC=4；
∴該三棱錐的外接球的表面積為4πr²=4π•4²=64π．
故選：D．

點評 本題考查了球的表面積計算問題，解題的關鍵是確定球心與半徑，屬于基礎題．